\subsection{平行四边形的判定}\label{subsec:czjh1-4-4}

判定一个四边形是不是平行四边形，除根据定义来判定外，还有以下判定定理：

\begin{dingli}[平行四边形判定定理1]
    一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
\end{dingli}

\begin{wrapfigure}[8]{r}{5cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh1-ch4-17}
    \caption{}\label{fig:czjh1-4-17}
\end{wrapfigure}

已知： 四边形 $ABCD$， $AB \pingxing CD$， $AB = CD$（图 \ref{fig:czjh1-4-17}）。

求证： 四边形 $ABCD$ 是平行四边形。

\zhengming 连结 $AC$。

$\because$ \quad $AB \pingxing CD$，

$\therefore$ \quad $\angle 1 = \angle 2$。

又 $\because$ \quad $AB = CD$， $AC = CA$，

$\therefore$ \quad $\triangle ABC \quandeng \triangle CDA$。

$\therefore$ \quad $\angle 3 = \angle 4$。

$\therefore$ \quad $BC \pingxing AD$。

所以四边形 $ABCD$ 是平行四边形。

“平行且等于” 用符号 “$\pxqdy$”  表示。
如图 \ref{fig:czjh1-4-17}， $AB = DC$， 且 $AB \pingxing DC$， 可以记作 $AB \pxqdy DC$，
读作 “$AB$ 且等于 $DC$”。

和定理 1 相类似，利用全等三角形，容易证明平行四边形判定定理 2、3。

\begin{dingli}[平行四边形判定定理2]
    两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
\end{dingli}

\begin{dingli}[平行四边形判定定理3]
    对角线互相平分的四边形是平行四边形。
\end{dingli}



\liti 已知： $\pxsbx ABCD$ 中， $E$、$F$ 分别是边 $AD$、$BC$ 的中点（图 \ref{fig:czjh1-4-18}）。

求证： $EB = DF$。

\zhengming $\because$ \quad 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，

$\therefore$ \quad $AD \pxqdy BC$ （平行四边形对边平行且相等）。

\begin{enhancedline}
$\because$ \quad $ED = \exdfrac{1}{2} AD$， $BF = \exdfrac{1}{2} BC$，

$\therefore$ \quad $ED \pxqdy BF$。
\end{enhancedline}

$\therefore$ \quad 四边形 $EBFD$ 是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）。

$\therefore$ \quad $EB = DF$ （平行四边形的对边相等）。


\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch4-18}
        \caption{}\label{fig:czjh1-4-18}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch4-19}
        \caption{}\label{fig:czjh1-4-19}
    \end{minipage}
\end{figure}


\liti 已知： 线段 $BC$ 和直线 $BC$ 外一点 $A$ （图 \ref{fig:czjh1-4-19}）。

求作： 以 $A$ 为一顶点， 以线段 $BC$ 为一边的平行四边形。

分析： 如果连结 $AB$， 那么平行四边形的两边已确定，根据平行四边形对边相等就可以确定另一个顶点。

\zuofa 1. 连结 $AB$。

2. 分别以 $A$、$C$ 为圆心， 以 $BC$、$AB$ 为半径作弧，两弧相交于点 $D$。

3. 连结 $AD$、$CD$。

四边形 $ABCD$ 就是所求的平行四边形。


\zhengming $\because$ \quad $AD = BC$， $DC = AB$，

$\therefore$ \quad 四边形 $ABCD$ 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。

$\because$ \quad $\pxsbx ABCD$ 的一边是 $BC$， 一个顶点是 $A$，

$\therefore$ \quad 四边形 $ABCD$ 就是所求的平行四边形。

讨论： 如果连结 $AC$， 同理可作四边形 $AEBC$， 它也是所求的平行四边形。此题有两个解。


\begin{lianxi}

\xiaoti{求证：\zhongdian{两组对角分别相等的四边形是平行四边形。}}

\xiaoti{把两个全等的三角形，按不同的方法拼成四边形，可以拼成几个不同的四边形，它们都是平行四边形吗？为什么？}

\xiaoti{已知： $\pxsbx ABCD$， $E$ 是 $AB$ 的中点， $F$ 是 $CD$ 的中点。
    求证： $EF = BC$。
}

\xiaoti{延长 $\triangle ABC$ 的中线 $AD$ 至 $E$， 使 $DE = AD$。
    求证： 四边形 $ABEC$ 是平行四边形。
}

\end{lianxi}


